春节期间，电影《流浪地球2》和电视剧《三体》“喂饱”了不少喜爱科幻的观众朋友。在观剧、观影的同时，大家对这两部作品中出现的相关科学术语和相关问题也产生了极大的兴趣，比如洛希极限、三体问题等。

这两天，搜狐创始人张朝阳还在他的线下物理课上谈到了关于《流浪地球2》中的一些设计，并且还建议《流浪地球3》可以以拉格朗日点来发展剧情。

图片来源：新浪微博截图

对于天文爱好者来说，“拉格朗日点”这个词语可能并不陌生。它以法国科学家拉格朗日命名。当年嫦娥四号的通信中继卫星鹊桥号，就是处在拉格朗日点来保证嫦娥四号与地球的通信的。

处于拉格朗日 L2 点的鹊桥号为嫦娥四号提供通信支持。图片来源：中国航天科技集团

那么问题来了，“拉格朗日点”到底是哪个点？为什么要以拉格朗日的名字命名？今天就让我们来了解一下。

01

欧洲最伟大的数学家

拉格朗日

约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）是法国籍意大利裔的数学家和天文学家。他的主要成就在数学领域，并使用数学分析的方法来研究力学和天文学。

有不少人在学习微积分的时候，都被拉格朗日中值定理——这条看似简明的定理衍生出来的各种花样试题烧毁过不少脑细胞。而除了拉格朗日，大学基础课里的巨头还有三位：拉普拉斯、傅里叶和泊松，其中第一位是他的同事，后两位是他的学生……

拉格朗日，图片来源：Wikipedia

确切地说，拉格朗日不能称“意大利裔”，终其一生，意大利的版图都是破碎的。

他在都灵出生，当时属于萨伏依王室统治下的撒丁王国。拉格朗日的父亲在都灵任公共事务和防务办公室的财务主管，按说应该挺富裕的，但是这位父亲把钱用到失败的金融投机上，所以拉格朗日的家境并不好。

他的父亲计划让他当一名律师，当时拉格朗日似乎也认命了。他就读于都灵学院，最喜欢的科目是古典拉丁语。起初他对数学并没有什么兴趣，觉得希腊几何学枯燥乏味。

但是当他读到哈雷——对，就是哈雷彗星的哈雷——的一篇介绍使用数学确定透镜焦点的论文之后，顿时觉得人生有了新方向——也许整个数学界都要感谢拉格朗日的父亲投机失败，因为按照拉格朗日的话说：假如我有钱的话，可能就不会投身数学了。

除了“投资失败”的父亲之外，拉瓦锡对拉格朗日也有很大帮助。1786 年，拉格朗日离开柏林，到巴黎科学院工作。到巴黎刚满三年，法国大革命就爆发了。1793 年，国民公会决定清理科学院，在拉瓦锡的极力维护下，拉格朗日被免于驱逐。

拉瓦锡肖像，图片来源：Wikipedia

但是拉瓦锡自己很不幸。1794 年 5 月 8 日，他被送上了断头台。拉格朗日悲伤地说：砍下这颗头只是一瞬间，再找个这么杰出的脑袋，一百年也不够。

拉格朗日的杰出贡献还有群论中的拉格朗日定理、数论的四平方和定理、微积分的拉格朗日乘数法、变分法的欧拉-拉格朗日方程。他开创了分析力学中的拉格朗日力学，推动了天文学的力学分析化。

作为法国经度局的度量衡委员会首届委员，拉格朗日推动了公制（国际单位制的前身）的制定。我们现在熟知的米、千克等单位，就是基于那时的最初定义。我们看看和他基本同时代的这些名字：拉瓦锡、拉普拉斯、勒让德、赫歇耳、库仑、伏特、瓦特、康德……基本上就可以感受到他对于现代科学的意义了。

02

航天领域的关键点

拉格朗日点

随着科技的发展，拉格朗日的大名不再仅限于教科书。

现在，在空间研究和航天科技领域相关的新闻里，大众常常能听到一个词，就是“拉格朗日点”。比如：鹊桥号中继卫星在地月系的拉格朗日点附近运行，提供月球背面和地球的通信服务；詹姆斯·韦布太空望远镜安置在拉格朗日点，对“大爆炸”早期的宇宙景象进行观测……

那么，“拉格朗日点”到底是哪个点呢？在了解拉格朗日点之前，我们不妨先来自己思考一个有趣的小问题：以地球和太阳为例，在地球公转轨道面的哪个位置放个小天体，可以使这个小天体围绕太阳公转时，还具有与地球相同的公转周期，并且与太阳、地球的相对位置保持不变呢？

请大家浅浅地思考一分钟……这实际上是三体问题的一组特殊解。，是一种特殊的平动状态。早在 1767 年，欧拉就求出了这个限制条件下的三个特解。

欧拉，图片来源：Wikipedia

随后，1772 年，作为欧拉的非正式却得了真传的学生，拉格朗日又算出了两个。这五个特解在公转轨道附近所对应的位置，叫做“拉格朗日点”（又称平动点），分别编号为 L1、L2、L3、L4 和 L5。

五个拉格朗日点的平动示意图，图片来源：Wikipedia这五个序号不是随意编的，每个数字对应一个唯一的位置。以太阳和地球为例：

L1 在日地之间的连线上，并且距离地球更近些。

L2 在日地的连线延长线上，在地球一侧，或者说，在地球阴影方向。

L3 在地日的连线延长线上，在太阳一侧，地球的对面，和太阳的距离基本等于日地距离。

L4 和日地成等边三角形，引领着地球运行。

L5 和日地成等边三角形，跟随着地球运行。

其中 L1 到 L3 是欧拉求得的结果，L4 和 L5 是拉格朗日求得的。

五个拉格朗日点，图片来源：NASA

可以看出，L1、L2 一个在地球轨道内侧，一个在外侧，如果不考虑地球的话，内圈的应该跑得比地球慢，外圈的应该跑得比地球快才对。不过，这里有个“如果”。

地球引力会对 L1 的小天体说“等等我！”对 L2 的小天体，则是喊“跟紧些，别掉队！”结果，虽然距太阳有远有近，但 L1、地球、L2 却以同样的角速度奔跑在黄道面上。

L1 的小天体总是悬停于地球的白昼一方，L2 的小天体则始终逗留在黑夜的那一面。这真是太好玩了。确切地说，五个拉格朗日点都是围绕太阳和地球的公共质心转绕的，这个质心在太阳中心偏向地球约 450 千米的位置，和太阳 696340 千米的半径相比，可以忽略不计。

看到这里，可能很多朋友都会默认拉格朗日点就是太阳、地球、月球之间的事儿吧？其实并不是，只要是类似的天体系统，都有这样的解存在，不过在本文里，拉格朗日点指的就是从 L1 到 L5 这些点。

03

在拉格朗日点

放一个小卫星会发生什么？

拉格朗日点是数学里的理想特解，而在现实世界里，并不能一劳永逸地把探测器放到拉格朗日点从此撒手不管了。

五个拉格朗日点的稳定性是不同的，就像把一个苹果顶在头顶或搁在碗底，它对外界干扰的表现完全不一样。放置在 L1、L2 或 L3 的小天体，如果受到其他天体的干扰（很常见，比如月球）而偏离一点点，就会持续偏离，越走越远；而放在 L4 或 L5 的，只要日地质量比大于 25（当然），它即使被其他行星摄动拉偏，也能画一个蚕豆状的曲线飘荡回来。

所以，如果我们把探测器放到 L1、L2 或 L3，就要给它多备一些调整位置和姿态的推进剂，而对于 L4 或 L5 就可以节省许多。

不过，L4 和 L5 有别的烦恼：因为它们很稳定，所以许多天然的小天体也容易聚集在这里，安排在这里的探测器被撞坏的几率比其他三个点高很多。

人们根据拉格朗日点的特性，为特殊性质的太空探测设计了一些量身定制的方案。

1. 拉格朗日点——L1L1 在日地之间，所以研究太阳的探测器就放置在这里，它们距离地球 150 万千米左右，在月球轨道以外，永远不会掉进地球或月球的阴影，可以持续观测太阳。太阳及日光层探测仪（SOHO）、深空气候观测站（DSCOVR）就被部署在这里。

中国的嫦娥五号轨道器完成登月任务后，由于项目进展顺利，推进剂充足，所以加个班，飞到日地 L1 开展了一些太阳探测任务。

在 L1 工作的 SOHO，图片来源：NASA

我们说过，L1 不是个稳定点。并且，假如真把探测器精确放到 L1 的话，太阳辐射就会完全来自同一方向，淹没探测器发来的信号（这个现象叫“日凌”）。所以，放在 L1 的探测器实际上沿着一个晕轮轨道（HALO orbit）环绕 L1 画圈运行。

2. 拉格朗日点——L2L2 在地球阴影方向，距离地球也是 150 万千米左右。

从这里看到的地球和月球都是暗面，而且这里位于地球的磁层尾部，太阳风的干扰也较低，所以，这个位置适合背对太阳静赏夜空。探测宇宙“大爆炸”余辉、凝望宇宙超深空的一些任务，就可在此进行。

威尔金森微波各向异性探测器（WMAP）、普朗克巡天者（Planck）、詹姆斯·韦布太空望远镜（JWST）先后被安排在这里。前两者的任务都是调查宇宙微波背景辐射，JWST 则用于研究“大爆炸”之后第一批恒星和星系的形成和演化。

詹姆斯·韦布太空望远镜在 L2 和地球同步公转，图片来源：Wikipedia

地月系的 L2，也是个有趣的存在。咱们的鹊桥号也在这里工作，它始终在月球的背面一方，同步跟随月球绕地运行。这样，它就可以把月球背面嫦娥四号和玉兔二号的信息传到地面上来。

鹊桥号会围着 L2 画圈圈，所以地球始终能接收到它的信号，不会被月球遮拦。

3. 拉格朗日点——L3目前还没有哪些航天器在 L3 工作。

这里和地球之间隔着太阳，从 L3 获得的信息无法直接到达地球。而且，这个位置难以保持稳定，身边没有地球罩着，面前还时不时窜过一个金星，对轨道干扰相当严重。可是，科幻小说特别钟爱这个地方，常常在这里描绘一个“反地球”，埋伏一群外星人，借着太阳掩护，偷偷地暗算我们。

那么，万一这儿真有个反地球怎么办？大家不用担心，有探测器跑到这里看过了，确实什么都没有。

4. 拉格朗日点——L4 和 L5L4 和 L5 也有永昼的特点，而且这两个点的稳定性容易维持，也很适合研究太阳，但它们和地球距离太远（等于日地距离），并且研究太阳的工作有个 L1 基本够用了，目前还没有开发它们的急迫需要，有一些探测器到过这里，却都没有久留，例如斯皮策太空望远镜（SST）、日地关系天文台（STEREO）。

L4、L5 分别与地球、太阳形成等边三角形。图片来源：researchgate

如果真要用到这两个点，那么 L5 比 L4 更有价值一些。因为 L5 位于太阳自转的上游。当太阳风暴爆发时，L5 可以比地球提前四天知道，为地球发来预警。

欧洲空间局的 Vigil 就准备把一枚探测器放到这里。不过其主要目的不是太阳风暴预警，而是和另一枚放置在 L1 的探测器协同研究太阳风暴：当 L1 遭受正面冲击时，L5 可以提供侧面视角。

顺便说一下，在定名“Vigil”之前，这项计划的名字就叫“拉格朗日”。科幻小说或漫画也比较钟情 L4 和 L5，因为它们离地球比较远，位置稳定，附近的自然小天体积蓄较多，矿产丰富，能攻能守，是星际殖民题材的常用故事背景。希望有朝一日，这些科幻小说中幻想的可以实现。