两圆重叠你会解吗?问题的准确答案 最近才被数学家找到
2020-12-13 14:34:46  出处:量子位  作者:萧箫 编辑:万南     评论(0)点击可以复制本篇文章的标题和链接

先来看一道简单的几何问题:

下图中,黑圆恰好将红圆的面积等分,且黑圆的圆心恰好在红圆上。假设红圆半径为R,黑圆半径为r,求r。

两圆重叠你会解吗?问题的准确答案 最近才被数学家找到

是不是感觉已经信手拈来,能在纸上演算一通了?

然而,就是这个看起来简单的数学难题,让数学家们想了几百年,都没能给出它的解析解。

解析解,指用精确的数学表达式写出的方程解。有些方程难以求出解析解,只能写出近似解。如下图,x=cos(x)就没有解析解,方程的解只能近似为x≈0.7390…

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△x=cos(x),x没有解析解

这个难倒数学家的问题,叫做「山羊问题」 (goat problem),最初的问题描述是这样的:

将一只山羊拴在面积为1英亩的圆形草地的围栏上,请问栓多长的绳子,才能让山羊刚好吃到半英亩的草?

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问题提出后,已有数学家给出了2种求解方程。

但,仅仅是“方程”:

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这个问题的精确答案,即如何准确地用围栏半径来表示绳子长度,却一直悬而未解。

美国海军学院数学家Mark Meyerson曾表示,对于这一问题,此前“没人知道确切答案,解决方法只是大致给出的。”

直到今年,才有一位叫做Ingo Ullisch的德国数学家,给出了这个问题的解析解。

从迭代到积分,求出来的还是方程

如果用数学的语言来描述这个问题,它是这样的:

一个半径为R的圆A,与另一个半径为r的圆B相交,其中圆B的圆心在圆A上,且两个圆的相交面积为圆A面积的一半,求解r。

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如果只是列出有关r的方程,目前已经有两种方案。

第一种方案,代入求解透镜面积的方程。

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透镜由两个(半径相同或不同的)圆相交构成,求解它的面积A,目前已有这么一个公式(其中,两圆半径为R和r,圆心之间的距离为d):

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显然,「山羊问题」也能用透镜面积方程来求解。

假设围栏的半径为1,那么在「山羊问题」中,求解条件将变成R=d=1,且A=1/2π,求解出来的r符合这一方程式:

两圆重叠你会解吗?问题的准确答案 最近才被数学家找到

这个方程需要用迭代法求解,能得到r=1.1587…的答案。

但这不是数学家想要的结果。

不愿意就此放弃的数学家们,试图用求积分来解决这一问题,并给出了第二种方案:

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这次,他们求出了左边有r的式子,但遗憾的是,这其实是个超越方程 (指方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数,类似于x=cosx):

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这些看似都能求解出r,但实际上只能算出数值解,而非解析解。

最后用上了复变函数

直到今年,一个名为Ingo Ullisch的科学家,才终于给出了问题精准的解析解。

不过,为了求解这一问题,他甚至用上了复变函数的知识,这也使得式子变得复杂不已。

但也得益于他的贡献,这一问题自被提出以来,第一次有了解析解:

两圆重叠你会解吗?问题的准确答案 最近才被数学家找到

那么,这个式子是怎么被求解出来的呢?

根据Ullisch的思路,他以两个圆的圆心与其中一个交点相连,组成了一个三角形,如下图所示。

两圆重叠你会解吗?问题的准确答案 最近才被数学家找到

其中,三角形的两个底角分别被设为α/2和β/2。

在经过一系列复杂运算后,Ullisch将式子简化成了下面这个方程:

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求解这一方程,就能得到解析解,但会用到复变函数相关的定理。

Ullisch表示,这一问题之所以复杂,是因为问题本质上相当于给定了一个面积固定值,并倒推出它的输入。

但如果想要逆转这一过程,反向求解出输入的定义,问题就会变得棘手。

CMU的数学教授Michael Harrison表示,这是他所知道的有关「山羊问题」的第一个明确的解析解。

“这绝对是一个进步。”

这也是山羊问题系列中,最原始、最根本,也是最难的问题之一。

有关山羊的问题,还有这么多

事实上,自1748年来,数学家们还从最原始的山羊问题中,思考出了各种问题的变体(换着花样找难题做)。

例如,除了让山羊在围栏内吃草,还让山羊到围栏外吃草,并计算它能吃到的最大草地面积(其中,绳索长度和围栏周长固定):

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此外,甚至还让羊飞上了空中,让它在三维的世界里吃草(空间中的山羊问题):

当然,根本问题还是求解球的半径r,使得两个相交球的相交体积正好是单位球体积的一半。

不过,兰卡斯特大学的数学教授Graham Jameson表示:“三维问题实际上比二维问题更容易解决。”

数学家Fraser表示,这是因为,如果将问题放在无限的维度中,数学家们可以推论出一个更明确的答案。

例如,将这个问题放到n维空间时,Fraser就推算出,当n接近无穷大的时候,绳子与限定球体的半径比接近于√2。

然而在二维世界里,这种明确的答案反而很难找。

因此,这次Ullisch求出的解析解,也是「山羊问题」系列的重大突破。

不过Ullisch也承认,这一问题的解决,并不会颠覆教科书或数学的研究,因为它只是一个孤立问题,不仅与其他问题无关,也没有嵌入数学理论。

但数学家们仍然非常激动。

Mark Meyerson表示:

为数学题寻找新的解法,通常是很有价值的,这些解法不仅可以再次给已解决的问题带来新思路,还可以将之推广到其他问题上。

数学家Harrison则认为:

虽然解决放牧山羊的问题不会取得突破性的数学成果,但数学领域的新方向,永远可能来自任何地方。

而提出山羊问题超越方程的Hoffman,也有类似的看法:

并非所有的数学进步都来自于取得根本性突破的人。有时候,这种进步也包括研究经典方法并找到新的角度,最终可能会带来意想不到的效果。

当然,网友在祝贺之余,也有表示这一问题“不太符合生活常理”的:

两圆重叠你会解吗?问题的准确答案 最近才被数学家找到

我认为这个问题,是没有山羊相关的经验的人提出的。因为我一想到山羊,就会想到它们在拼命跳篱笆、嚼绳子……这让我没办法专心解决这个问题。

- THE END -

#数学

原文链接:量子位 责任编辑:万南

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